ja_mageia

Hazırlayan : Enes KOŞAR
Danışman : Erdoğan ÇAĞLAR

PROJENİN AMACI: Çok büyük ve sonlu bir düzlem haritada herhangi bir noktada en fazla 3 şehir karşılaşıyor ise, bir şehrin ortalama komşu sayısı 6 dan biraz küçüktür. İddiasını Türkiye illerini birer prizma olarak kabul edip Euler teoremi ile ispat etmek.

PROJENİN HEDEFLERİ :

1. Geometride kullanılan prizmaların, değişik alanlarda uygulandığını göstermek
2. Türkiye illerinin sınırlarını birer doğru kabul edip prizma şekline dönüştürmek
3. Ayrıt, köşe ve yüz sayıları arasındaki bağıntıyı göstermek
4. Matematiğin diğer bilimlerle ilişkisini göstermek

PROJENİN TANITIMI:

Çok büyük ve sonlu bir düzlem haritada, herhangi bir noktada en fazla üç şehir karşılaşıyorsa bir şehrin ortalama komşu sayısı 6’dan biraz küçüktür.
BÖYLE BİR DÜZLEM HARİTADA:
T: prizma yüzeylerindeki toplam üçgen sayısı
Q: prizma yüzeylerindeki toplam dörtgen sayısı
P: prizma yüzeylerindeki toplam beşgen sayısı
H: prizma yüzeylerindeki toplam altıgen sayısı
v.b. olduğunu varsayalım.Bu durumda:

Yüzlerin sayısı = T+Q+P+H+…
Kenarların sayısı = 1/2 (3T+4Q+5P+6H+…)
Köşelerin sayısı = 1/3 (3T+4Q+5P+…)

1/2 ve 1/3 kesirlerinin oluşma nedeni bir kenarın 2 ve bir köşenin 3 yüzey tarafından paylaşılmasıdır.Euler ilişkisine göre:

(T+Q+P+H+…..)+1/3 (3T+4Q+5P+6H+…) - 1/2(3T+4Q+5P+6H+….)=2

(T+Q+P+H+…..)+1/3 (3T+4Q+5P+6H+…) = 2 + 1/2(3T+4Q+5P+6H+….)

Buradan:

(T+Q+P+H+….)= 2+1/6 (3T+4Q+5P+6H+…) ve (T+Q+P+H+….)=12+(3T+4Q+5P+6H+…)
Çokgen başına ortalama komşu sayısı toplam kenar sayısının toplam yüz sayısına bölünmesiyle elde edilir.

6(T+Q+P+H+….) 12 (3T+4Q+5P+6H+…)
----------------------- = ----------------------- + ----------------------------
(T+Q+P+H+….) (T+Q+P+H+….) (T+Q+P+H+….)

(3T+4Q+5P+6H+…) 12
---------------------------- = 6 – (-----------------------)
(T+Q+P+H+….) (T+Q+P+H+….)

Bir diğer deyişle 6 dan biraz daha küçüktür.

NOT : Bu formülü Türkiye deki 80 ile ( Kilis bir çokgen olmadığından hesaba katılmamıştır.) uyarladığımızda formüldeki eşittir 2 olan yer 80x2 den 160 olarak alınacaktır.

Köşe sayısı + yüz sayısı = kenar sayısı + 2
2664/3+604=2664/2+80x2
2664/3+604=2664/2+160
604=2664/6+160
6. 604 =6. 2664/6+6.160
6. 604=2664+6.160
6. 604=2664+960
6. 604/604 = 2664/604 + 960/604
6=2664/604 + 960/604
2664/604 = 6 – 960/604
4.41 = 4.41

• www.wikipedia.com
• 8. sınıf Ders ve SBS kitapları

GERÇEKLEŞTİRİLEN FAALİYETLER:

1. Euler teoreminin incelemesi yapıldı.
2. Prizmalarda kenar, köşe ve yüz sayısı bağıntısının uygulanışının örnekleri çözüldü.
3. Türkiye haritasındaki illerin sınırlarını birer doğru kabul edip illeri prizma şekline dönüştürüp Euler teoremine uygulanışı gösterildi.
4. Teoremde geçen bir noktada en fazla 3 şehir karşılaşıyorsa ortalama komşu sayısı 6 dan biraz küçük olduğu ispatı yapıldı.

FAALİYET TAKVİMİ:

• 20 EKİM Euler teoreminin incelenmesi
• 27 ekim – 17 kasım Türkiye illerinin prizma olarak çizilmesi
• 1 aralık Teoremin uygulanışının gösterilmesi
• 22 aralık İllerin yüz, kenar ve köşe sayılarının çıkarılması
• 12 ocak Projeye son halinin verilmesi

YÖNTEM: İspat teknikleri, tümevarım

BÜTÇE: 10TL

ULAŞILAN SONUÇ: Çok büyük ve sonlu bir düzlem haritada herhangi bir noktada en fazla 3 şehir karşılaşıyor ise, bir şehrin ortalama komşu sayısı 6 dan biraz küçüktür. İddiasını Türkiye illerini birer prizma olarak kabul edip Euler teoremi ile ispat ettik. Ve ortalama komşu sayısını 4.41 olarak hesap ederiz.

SONUÇLARIN DEĞERLENDİRİLMESİ: Türkiye illerini birer prizma olarak kabul edersek teoremin uygulanışı gösterilmiştir.

PROJENİN ÖZETİ:
Harita üzerinde her ili bir çokgen prizmaya benzeterek, bütün illerin toplam kaç üçgen yüzeyi, kaç dörtgen yüzeyi, kaç beşgen yüzeyi… olduğunu buluruz. Buradan toplam kenar sayısını: bir x gene ait kenar sayısı çarpı toplam x gen sayısı + bir y gene ait kenar sayısı çarpı toplam y gen sayısı+….
Toplam köşe sayısını: bir x gene ait köşe sayısı çarpı toplam x gen sayısı + bir y gene ait kenar sayısı çarpı toplam y gen sayısı+….
Toplam yüz sayısı: toplam x gen sayısı+ toplam y gen sayısı+…….
Şeklinde bulup Euler teoremine uygularız ve buradan;
3 ilin 3 tane komşusu vardır.
13 ilin 4 tane komşusu vardır.
28 ilin 5 tane komşusu vardır.
18 ilin 6 tane komşusu vardır.
11 ilin 7 tane komşusu vardır.
5 ilin 8 tane komşusu vardır.
2 ilin 9 tane komşusu vardır.

Dolaysıyla ortalama komşu sayısını 4.41 olarak hesap ederiz.